Cho 2 số thực x, y thỏa mãn log2((x^2+y^2)/(3xy+X^2))+x^2+2y^2+1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Biến đổi giả thiết ta có:

${\log }_2\frac{x^2+y^2}{3xy+x^2}+1+2x^2+2y^2\le 3xy+x^2\iff {\log }_2\frac{2x^2+2y^2}{3xy+x^2}+2x^2+2y^2\le 3xy+x^2$

$\iff {\log }_2\left(2x^2+2y^2\right)+2x^2+2y^2\le {\log }_2\left(3xy+x^2\right)+3xy+x^2$

$\iff 2x^2+2y^2\le 3xy+x^2\iff x^2-3xy+2y^2\le 0\iff 1\le \frac{x}{y}\le 2$

Khi đó $P=\frac{2{\left(\frac{x}{y}\right)}^2-\frac{x}{y}+2}{\frac{2x}{y}-1}=f\left(\frac{x}{y}\right)\ge f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{2}$.