Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(0)=-2

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đặt $t=2x\Rightarrow dt=2dx$ nên

$I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f^{\text{'}}\left(2x\right)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{t}{2}{f}^{\text{'}}\left(t\right).\frac{dt}{2}=\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{4}{\int }}t{f}^{\text{'}}\left(t\right)dt=4\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{4}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$

Lại có: $\underset{0}{\overset{4}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx={\left.xf\left(x\right)\right|}_0^4-\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=f\left(4\right)-\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx$

Mặt khác $f\left(x\right)+f\left(4-x\right)=x^2-4x+1\Rightarrow \underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(4-x\right)dx=\frac{-20}{3}\left(*\right)$

Do $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(4-x\right)dx=-\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(4-x\right)d\left(4-x\right)=-\underset{4}{\overset{0}{\int }}f\left(u\right)du=\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(u\right)du$

Suy ra $\left(*\right)\iff 2\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{-20}{3}\Rightarrow \underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{-10}{3}$

Thay $x=0$ vào giả thiết ta được $f\left(0\right)+f\left(4\right)=1\Rightarrow f\left(4\right)=3$ nên $I=\frac{23}{6}$.