Cho hai số thực a,b>1 sao cho tồn tại số thực x(x>0, x khác 1) thỏa mãn .

Đáp án B

Từ \[{a^{{{\log }_b}x}} = {b^{{{\log }_a}{x^2}}} \Rightarrow {\log _a}\left( {{a^{{{\log }_b}x}}} \right) = {\log _a}\left( {{b^{{{\log }_a}{x^2}}}} \right)\]

\[ \Rightarrow {\log _b}x = {\log _a}{x^2}.{\log _a}b = 2{\log _a}x.{\log _a}b \Rightarrow \frac{{\ln x}}{{\ln b}} = 2.\frac{{\ln x}}{{\ln a}}.\frac{{\ln b}}{{\ln a}} \Rightarrow {\left( {\ln a} \right)^2} = 2{\left( {\ln b} \right)^2}\]

Mà \[a,b > 1 \Rightarrow \ln a > 0;\ln b > 0 \Rightarrow \ln a = \sqrt 2 \ln b\]

\[ \Rightarrow P = {\ln ^2}a + {\ln ^2}b - \ln a - \ln b = 3{\ln ^2}b - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\ln b\]

$={\left(\sqrt{3}\ln b-\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\right)}^2-\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\right)\ge -\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$

Dấu “=” xảy ra $\iff \ln b=\frac{1+\sqrt{2}}{6}\iff b=e^{\frac{1+\sqrt{2}}{6}}\Rightarrow \ln a=\frac{\sqrt{2}+2}{6}\Rightarrow a=e^{\frac{2+\sqrt{2}}{6}}$ Chọn B.