Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm, nhận giá trị dương trên (0; dương vô cùng) và thỏa mãn

Đáp án C

Ta có \(2f'\left( {{x^2}} \right) = 9{\rm{x}}\sqrt {f\left( {{x^2}} \right)} \)

\( \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{x}}f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( {{x^2}} \right)} }} = \frac{9}{2}{x^2} \Leftrightarrow \frac{{{{\left[ {f\left( {{x^2}} \right)} \right]}^\prime }}}{{2\sqrt {f\left( {{x^2}} \right)} }} = \frac{9}{2}{x^2} \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt {f\left( {{x^2}} \right)} } \right]^\prime } = \frac{9}{2}{x^2}\)

Do đó $\sqrt{f\left(x^2\right)}=\int \frac{9}{2}{x}^{2}d\text{x}=\frac{3}{2}{x}^3+C$

Mà $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}.\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}+C\iff C=0$

Suy ra \(f\left( {{x^2}} \right) = \frac{9}{4}{x^6} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{9}{4}{x^3} \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{9}{4}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{12}}\).