Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, hình chiếu của S lên mặt phẳng

Đáp án C

Gọi \({r_1},{r_2},{r_3}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HCA\).

Theo định lí Sin, ta có \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {AHB}}} = 2{{\rm{r}}_1} \Rightarrow {r_1} = \frac{2}{{2.\sin 150^\circ }} = 2\); tương tự \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{r_2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\\{r_3} = 1\end{array} \right.\).

Gọi \({R_1},{R_2},{R_3}\) lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCA.

Đặt $SH=2\text{x}\to R_1=\sqrt{r_1^2+\frac{S{H}^2}{4}}=\sqrt{x^2+4};R_2=\sqrt{x^2+\frac{4}{3}}$và $R_3=\sqrt{x^2+1}$

Suy ra $\sum S=S_1+S_2+S_3=4\pi R_1^2+4\pi R_2^2+4\pi R_3^2=4\pi \left(3{\text{x}}^2+\frac{19}{3}\right)=\frac{124\pi }{3}\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{4}{3}\).

Chú ý: “Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và \({R_{\Delta ABC}}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \to R = \sqrt {R_{\Delta ABC}^2 + \frac{{S{A^2}}}{4}} \) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC”.