Cho số phức z=a+bi (a,b thuộc R) thỏa mãn |z-1|=|z+i| . Tính S=a+5b

Đáp án C

Giả sử \[z = x + yi\;\left( {z,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left| {x - 1 + yi} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right|\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \Rightarrow d:x + y = 0.\]

Điểm \[M\left( {x;y} \right)\] biểu diễn số phức \[z \Rightarrow M \in d\].

Xét \[A\left( {2;1} \right),B\left( { - 3;1} \right),I\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\] là trung điểm của đoạn thẳng AB

\[ \Rightarrow {\left| {z - 2 - i} \right|^2} + {\left| {z + 3 + i} \right|^2} = M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\]

Ta có \[AB\left( {const} \right),IM \ge d\left( {I;d} \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\] nên \[{P_{\min }} \Leftrightarrow IM \bot d\].

Khi đó \[IM:1.\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1.\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + \frac{1}{2} = 0\].

Tọa độ của M là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-y+\frac{1}{2}=0\end{array}\right.\Rightarrow M\left(-\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)\Rightarrow z=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}i.$