Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

Đáp án C

Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên \[\left[ {1;2} \right]\].

Xét hàm số$f\left(x\right)=\frac{x^2+mx+m}{x+1}$, với \[x \in \left[ {1;2} \right]\] ta có:

\[f'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + mx + m} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\;\forall x \in \left( {1;2} \right)\].

Tính \[f\left( 1 \right) = \frac{{2m + 1}}{2};f\left( 2 \right) = \frac{{3m + 4}}{3}\]

+ TH1: $\left|\frac{2m+1}{2}\right|=2\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{3}{2}\\ m=-\frac{5}{2}\end{array}\right.$

Với \[m = \frac{3}{2} \Rightarrow y\left( 2 \right) = \frac{{17}}{6} > 2 \Rightarrow m = \frac{3}{2}\] không thỏa mãn.

Với $m=-\frac{5}{2}\Rightarrow y\left(2\right)=\frac{7}{6}<2\Rightarrow m=-\frac{5}{2}$thỏa mãn.

+ TH2: $\left|\frac{3m+4}{3}\right|=2\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{2}{3}\\ m=-\frac{10}{3}\end{array}\right.$

Với $m=\frac{2}{3}\Rightarrow y\left(1\right)=\frac{7}{6}<2\Rightarrow m=\frac{2}{3}$ thỏa mãn.

Với $m=-\frac{10}{3}\Rightarrow y\left(1\right)=\frac{17}{6}>2\Rightarrow m=-\frac{10}{3}$ không thỏa mãn.