. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;10), B(4;6;5) và M là điểm thay đổi trên mặt phẳng

Đáp án A

Gọi \[M\left( {x;y;0} \right) \in \left( {Oxy} \right):z = 0\].

Ta có \[d\left( {A;\left( {Oxy} \right)} \right) = 10\] và \[d\left( {B;\left( {Oxy} \right)} \right) = 5\].

Bài ra MA, MB cùng tạo với \[\left( {Oxy} \right)\] hai góc bằng nhau, gọi góc này là \[\alpha \].

Ta có $\sin \alpha =\frac{d\left(A;\left(Oxy\right)\right)}{AM}=\frac{10}{MA};\sin \alpha =\frac{d\left(B;\left(Oxy\right)\right)}{BM}=\frac{5}{MB}\Rightarrow MA=2MB$

$\begin{array}{l}\iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+100=4\left[{\left(x-4\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2+25\right]\\ \iff x^2+y^2-2x-6y+110=4\left(x^2+y^2-8x-12y+77\right)\\ \iff 3x^2+3y^2-30x-42y+198=0\iff x^2+y^2-10x-14y+66=0\\ \iff {\left(x-5\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2=8\\ \left\{\begin{array}{l}x-5=\sqrt{8}\cos t\\ y-7=\sqrt{8}\sin t\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{8}\cos t+5\\ y=\sqrt{8}\sin t+7\end{array}\right..\\ \Rightarrow A{M}^2={\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+100={\left(\sqrt{8}\cos t+4\right)}^2+{\left(\sqrt{8}\sin t+4\right)}^2+100\\ =16\sqrt{2}\left(\sin t+\cos t\right)+140=32\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)+140\ge -32+140=108\Rightarrow AM\ge 6\sqrt{3}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\iff \sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \alpha +\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff \alpha =-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}\right.\Rightarrow M\left(3;5;0\right)$