Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ

* Hướng dẫn giải

Hệ phương trình đã cho tương đương

$\left\{\begin{array}{l}{2}^{\sqrt[3]{x^2}}{.4}^{\sqrt[3]{y^2}}{.16}^{\sqrt[3]{z^2}}=128\\ {\left(x{y}^2+z^4\right)}^2-{\left(x{y}^2-z^4\right)}^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{y^2}+4\sqrt[3]{z^2}=7\\ x{y}^2{z}^4=1\end{array}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số không âm ta có

$$\begin{gathered} 7=\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{y^2}+4\sqrt[3]{z^2} \\ =\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z^2} \\ \ge 7\sqrt[7]{\sqrt[3]{x^2}.{\left(\sqrt[3]{y^2}\right)}^2.{\left(\sqrt[3]{z^2}\right)}^4} \\ =7\sqrt[21]{{\left(x{y}^2{z}^4\right)}^2}=7. \end{gathered}$$

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương$\left\{\begin{array}{l}{x}^2=y^2=z^2\\ x{y}^2{z}^4=1\end{array}\right..$

Dễ thấy x>0 và từ phương trình thứ hai ta có $x^7=1$ hay x = 1. Suy ra $y=\pm \mathrm{1,}z=\pm 1.$

Vậy các bộ số thực thỏa mãn đề bài là $\left(1;1;1\right),\left(1;1;-1\right),\left(1;-1;-1\right),\left(1;-1;1\right).$

Chọn đáp án B.