Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn khẳng định đúng?

* Hướng dẫn giải

\[\begin{array}{*{20}{l}}{A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}}\\{ = {{\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GD} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GD} } \right)}^2}}\end{array}\]\[\begin{array}{l} = 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} \\ + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} \left( 1 \right)\end{array}\]

Lại có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} = \vec 0 \Leftrightarrow {{\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right)}^2} = 0}\\\begin{array}{l} \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2} = 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} \\ + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} \left( 2 \right)\end{array}\end{array}\]

Từ (1) và (2) suy ra

\[A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)\]

Đáp án cần chọn là: B