Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh aa.

Gọi H là hình chiếu của SS trên mặt phẳng (ABCD).

Do SA=SB=SD nên suy ra H là tâm của tam gác đều ABD.

Suy ra

\[AH = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},HI = \frac{1}{3}AI = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

và\[SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{6}.\]

Vì ABCD là hình thoi nên \[HI \bot BD\]. Tam giác SBD cân tại S nên\[SI \bot BD\].  Do đó\[\widehat {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} = \widehat {\left( {SI;AI} \right)} = \widehat {SIH}.\]

Trong tam vuông SHI, có\[\tan \widehat {SIH} = \frac{{SH}}{{HI}} = \sqrt 5 .\]