Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung

Đáp án A

Gọi \(\Delta \) là đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1; - 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {1;0;1} \right).\)

Suy ra \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Gọi \(A\left( {2 + t;1 - t;2 - t} \right) \in {d_1}\) và \(B\left( {u;3; - 2 + u} \right) \in {d_2}\) suy ra \(\overrightarrow {AB} \left( {u - t - 2;2 + t;u + t - 4} \right)\)

Giải: \(\overrightarrow {AB}  = k.\overrightarrow {{u_\Delta }} = k\left( { - 1; - 2;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u - t - 2 = - k\\2 + t = - 2k\\u + t - 4 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\\t = 0\\k = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {2;1;2} \right)\\B\left( {3;3;1} \right)\end{array} \right..\)

Phương trình đường thẳng AB là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right..\)