Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn

Ta có:

\[\begin{array}{l}4 = {2^x} + {2^y} \ge 2\sqrt {{2^x}{{.2}^y}} \\ \Rightarrow 2 \ge \sqrt {{2^x}{2^y}} \\ \Rightarrow 4 \ge {2^{x + y}}\\ \Rightarrow 0 < x + y \le 2\\ \Rightarrow {(x + y)^2} \le 4\end{array}\]

Lại có\[x + y \ge 2\sqrt {xy} \Rightarrow xy \le 1\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow P = 4{x^2}{y^2} + 2{x^3} + 2{y^3} + 10xy}\\{ = 4{{\left( {xy} \right)}^2} + 10xy + 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}\\{ = 4{{\left( {xy} \right)}^2} + 10xy}\\{ + 2.\left( {x + y} \right).\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right]}\\{ \Rightarrow P \le 4{{\left( {xy} \right)}^2} + 10xy + 2.2.\left( {4 - 3xy} \right)}\\{ \Rightarrow P \le 4{{\left( {xy} \right)}^2} - 2xy + 16}\end{array}\]

Đặt \[xy = t \Rightarrow 0 < t \le 1\]

Xét hàm số \[f\left( t \right) = 4{t^2} - 2t + 16\] trên\[\left( {0;1} \right]\]

\[ \Rightarrow f\left( t \right) \le \max \left\{ {f\left( 1 \right),f\left( 0 \right)} \right\} = 18\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.

Vậy\[{P_{\max }} = 18 \Leftrightarrow x = y = 1\]