Cho hàm số bậc ba y=f(x) liên tục và có đồ thị như hình vẽ.

Đáp án A

Ta có: \(\frac{{4{m^3} + m}}{{\sqrt {2{f^2}\left( x \right) + 5} }} = {f^2}\left( x \right) + 3 \Leftrightarrow 4{m^3} + m = \left[ {{f^2}\left( x \right) + 3} \right]\sqrt {2{f^2}\left( x \right) + 5} \).

\( \Leftrightarrow 8{m^3} + 2m = \left( {2{f^2}\left( x \right) + 6} \right)\sqrt {2{f^2}\left( x \right) + 5} \;\)

\( \Leftrightarrow 8{m^3} + 2m = \left( {{{\sqrt {2{f^2}\left( x \right) + 5} }^3}} \right) + \sqrt {2{f^2}\left( x \right) + 5} \) (*)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {t^3} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\left( {\forall t \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(m = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\4{m^2} = 2{f^2}\left( x \right) + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\f\left( x \right) = \pm \sqrt {\frac{{4{m^2} - 5}}{2}} \end{array} \right.\) (*)

TH1: Với thì phương trình đã cho \( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm.

TH2: Với \(m > \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) thì phương trình \(f\left( x \right) = - \sqrt {\frac{{4{m^2} - 5}}{2}} \) luôn có 1 nghiệm, như vậy để phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm thì phương trình \(f\left( x \right) = \sqrt {\frac{{4{m^2} - 5}}{2}} \) có 3 nghiệm phân biệt.

Khi đó \(0 < \sqrt {\frac{{4{m^2} - 5}}{2}} < 4 \Leftrightarrow 4{m^2} - 5 < 32 \Leftrightarrow - \sqrt {\frac{{37}}{4}} < m < \sqrt {\frac{{37}}{4}} \).

Vậy \(\frac{{\sqrt 5 }}{2} < m < \sqrt {\frac{{37}}{4}} \) là giá trị cần tìm. Kết hợp \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = \left\{ {2;3} \right\}\).