Cho hàm số y=f(x) là hàm số liên tục trên và f(x)dx=1

Đáp án D

Ta có \(\int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}d{\rm{x}}} = 2\int\limits_1^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 6 \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 3 \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 4\)

Đặt \(t = 2\tan x \Leftrightarrow dt = \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}dx \Leftrightarrow \frac{{dt}}{2} = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\) và đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 0\\x = \frac{\pi }{4} \to t = 2\end{array} \right.\).

Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{f\left( {2\tan x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_0^2 {\frac{{f\left( t \right)}}{2}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}.4 = 2\).