Cho hàm số f(x)=2019*(e^2x-e^-2x)+2020ln(x_căn bậc hai của (x^2+1))+2021x^3

Đáp án A

Ta có \(f'\left( x \right) = 4038\left( {{e^{2x}} + {e^{ - 2x}}} \right) + \frac{{2020}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 6063{x^2} > 0,\forall x \in \left[ { - 2;1} \right]\)

Mà \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\). Suy ra:

\(f\left( {\left| {3{x^2} + m} \right|} \right) + f\left( {{x^3} - 12} \right) \le 0 \Leftrightarrow f\left( {\left| {3{x^2} + m} \right|} \right) \le - f\left( {{x^3} - 12} \right) = f\left( {12 - {x^3}} \right),\forall x \in \left[ { - 2;1} \right]\)

\( \Leftrightarrow \left| {3{x^2} + m} \right| \le 12 - {x^3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} + m \ge {x^3} - 12}\\{3{x^2} + m \le 12 - {x^3}}\end{array}} \right.\) ngiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 2;1} \right]\).

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge {x^3} - 3{x^2} - 12 = g\left( x \right)}\\{m \le - {x^3} - 3{x^2} + 12 = h\left( x \right)}\end{array}} \right.,\forall x \in \left[ { - 2;1} \right]\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = - 12}\\{m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} h\left( x \right) = h\left( 1 \right) = h\left( { - 2} \right) = 8}\end{array}} \right. \Rightarrow - 12 \le m \le 8\].

Vậy có 21 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.