Đồ thị hàm số y=x^3-2mx^2+m^2x+n có tọa độ điểm cực tiểu là

Đáp án A

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4mx + {m^2}\)

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là \(\left( {1;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = 0\\y\left( 1 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 4m + {m^2} = 0\\1 - 2m + {m^2} + n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.\\n = - {m^2} + 2m + 2\end{array} \right.\)

     Ÿ \(m = 1 \Rightarrow n = 3\) ta được hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + x + 3\)

\(y' = 3{x^2} - 4x + 1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Lập trục xét dấu của \(y'\) ta suy ra \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.\) thỏa mãn \( \Rightarrow m + n = 4\).

     Ÿ \(m = 3 \Rightarrow n = - 1\) ta được hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 1\)

\(y' = 3{x^2} - 12x + 9 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Lập trục xét dấu của \(y'\) ta suy ra \(x = 1\) là điểm cực đại của hàm số.

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = - 1\end{array} \right.\) không thỏa mãn.