Cho parabol ( P ) : y = x^2 + 1 và đường thẳng ( d ) : y = m x + 2 . Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nh...

Phương trình hoành độ giao điểm dd và (P)

Có:\[{x^2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0(1) \Rightarrow {\rm{\Delta }} = {m^2} + 4 > 0\]

Phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy dd luôn cắt (P)  tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m.

Giả sử A,B lần lượt  có hoành độ là a,b nên\[A\left( {a;ma + 2} \right)\]và\[B\left( {b;mb + 2} \right)(a < b)\]

Với x thuộc\[x \in \left( {a;b} \right)\]thì \[mx + 2 \ge {x^2} + 1\]

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P)

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_a^b {(mx + 2 - x2 - 1)dx} \\ = \int\limits_a^b {(mx - {x^2} + 1)dx = \left( {\frac{{m{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \left| {_a^b} \right.\end{array}\)

\[ = \left( {b - a} \right)\left[ {\frac{m}{2}(a + b) + 1 - \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + ab)} \right]\]

\[ = (b - a)\left[ {\frac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \frac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]\]

\[ \Rightarrow {S^2} = {(b - a)^2}{\left[ {\frac{m}{2}(b + a) + 1 - \frac{1}{3}{{(a + b)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]^2}\]

\[ = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab} \right]{\left[ {\frac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \frac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]^2}\]

Vì a,b là nghiệm của pt (1) nên a+b=m và ab=−1

Suy ra

\[{S^2} = \left( {{m^2} + 4} \right){\left( {\frac{{{m^2}}}{6} + \frac{2}{3}} \right)^2} \ge 4.\frac{4}{9} = \frac{{16}}{9} \Rightarrow S \ge \sqrt {\frac{{16}}{9}} = \frac{4}{3}\,khi\,m = 0\]