Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′, cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đó.Gọi M là trung điểm của BC.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:

\[AM \bot BC\](do \[{\rm{\Delta }}ABC\]đều)

\[BC \bot AA'\,\,\left( {gt} \right)\]

\[ \Rightarrow BC \bot \left( {AA'M} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(A\prime BC) \cap (ABC) = BC}\\{AM \subset (ABC),AM \bot BC}\\{A\prime M \subset (A\prime BC),A\prime M \bot BC}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'M;AM} \right) = \angle A'MA = {60^0}\]

Vì\[{\rm{\Delta }}ABC\] đều cạnh a nên\[AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]và\[{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]

Xét tam giác vuông\[A'AM\]có:\[AA' = AM.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{{3a}}{2}\]

Vậy thể tích khối lăng trụ là\[{V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{{\rm{\Delta }}ABC}} = \frac{{3a}}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}\]