Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là R1,R2,R3 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có...

Gọi I1,I2,I3 là tâm của các hình cầu, M,N,P là các tiếp điểm của các hình cầu (như hình vẽ), H,K,F là tiếp  ba hình cầu với mặt phẳng (P) (như hình vẽ).

Xét mặt phẳng (I1I2KH), có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{HK = \sqrt {{I_1}{I_2}^2 - {{\left( {{I_2}K - {I_1}H} \right)}^2}} \,}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{R_1} + {R_2}} \right)}^2} - {{\left( {{R_1} - {R_2}} \right)}^2}} }\\{\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {4{R_1}{R_2}} = 2 \Rightarrow {R_1}{R_2} = 1}\end{array}\]

Tương tự, \[{R_1}{R_3} = \frac{9}{4},\,{R_2}{R_3} = 4\]

\[ \Rightarrow {R_1}{R_2}{R_3} = \sqrt {1.\frac{9}{4}.4} = 3 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{R_1} = \frac{3}{4}}\\{{R_2} = \frac{4}{3}}\\{{R_3} = 3}\end{array}} \right.\]

Vậy \[{R_1} + {R_2} + {R_3} = \frac{3}{4} + \frac{4}{3} + 3 = \frac{{61}}{{12}}\]