Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:

Gọi O,O′ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và A’B’C’, khi đó ta có OO’ là trục của (A’B’C’).

Gọi N là trung điểm của B’M, E là trung điểm của A’C’.

Qua N kẻ   ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B\prime E \bot BB\prime }\\{NI\parallel B\prime E}\end{array} \Rightarrow NI \bot BB\prime \Rightarrow IM = IB\prime } \right.\)

Lại có \[I \in OO'\] nên \[IA' = IB' = IC'\]Do đó ta có\[IA' = IB' = IC' = IM\] nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp M.A’B’C’, bán kính\[R = IB'\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NI\parallel B\prime O\prime }\\{B\prime N\parallel O\prime I}\end{array}} \right.\) nên O’B’NI là hình bình hành

\[ \Rightarrow O'I = B'N = \frac{1}{2}B'M = \frac{1}{4}BB' = \frac{a}{2}\]

Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên \[B'E = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'O = \frac{2}{3}B'E = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O’B’I có:

\[IB' = \sqrt {O'{I^2} + B'{O^{\prime 2}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\]