Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có

* Hướng dẫn giải

Phương trình \[BC \equiv Oz:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\]

Mặt phẳng\[\left( {AMM'A'} \right)\] đi qua A′ và vuông góc với BC nên\[\left( {AMM'A'} \right)\] đi qua\[A'\left( {\sqrt 3 ; - 1;1} \right)\] và nhận\[\vec k = \left( {0;0;1} \right)\] làm VTPT hay

\[\left( {AMM'A'} \right):0\left( {x - \sqrt 3 } \right) + 0\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 1\]

\[M = BC \cap \left( {AMM'A'} \right) \Rightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {0;0;1} \right)\]

Mà \[AA' = 1,A'M = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 2\]

\[ \Rightarrow AM = \sqrt {A'{M^2} - A'{A^2}} = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \]

Tam giác ABC đều có độ dài đường cao\[AM = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow BC = 2\]

Gọi \[B\left( {0;0;m} \right),C\left( {0;0;n} \right)\] với\[n \ne 0\]  thì \[BC = 2 \Leftrightarrow \left| {m - n} \right| = 2\] và M(0;0;1) là trung điểm \[BC \Leftrightarrow \frac{{m + n}}{2} = 1 \Leftrightarrow m + n = 2\]

Khi đó \[m = 0,n = 2\]  vì\[n \ne 0\] hay C(0;0;2).

\[ \Rightarrow \overrightarrow {A'C} = \left( { - \sqrt 3 ;1;1} \right)\] hay\[2\overrightarrow {AC'} = \left( { - 2\sqrt 3 ;2;2} \right)\] là một VTCP của A′CA′C.

Suy ra \[a = - 2\sqrt 3 ,b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 2\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} = 16\]

Đáp án cần chọn là: B