Cắt hình trụ (T) bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật

Đáp án C

Gọi h, r lần lượt là đường cao và bán kính đáy của hình trụ \(\left( T \right)\). Thiết diện của mặt phẳng và hình trụ là hình \(\left( T \right)\) chữ nhật ABCD. Khi đó theo giả thiết ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}h > 2{\rm{r}}\\{S_{ABC{\rm{D}}}} = h.2{\rm{r}} = 30\\{C_{ABC{\rm{D}}}} = 2\left( {h + 2{\rm{r}}} \right) = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h > 2{\rm{r}}\\h{\rm{r}} = 15\\h + 2{\rm{r}} = 13\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h > 2{\rm{r}}\\h = 13 - 2{\rm{r}}\\ - 2{{\rm{r}}^2} + 15{\rm{r}} - 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h > 2{\rm{r}}\\h = 13 - 2{\rm{r}}\\\left[ \begin{array}{l}r = 5 \Rightarrow h = 3{\rm{ }}\left( l \right)\\r = \frac{3}{2} \Rightarrow h = 10{\rm{ }}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{\rm{S}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .\frac{3}{2}.10 + 2\pi {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{69\pi }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\).