Trong hệ trục toạ độ không gian Oxyz, cho A(1,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)

Theo giả thiết $\left(ABC\right)\perp \left(P\right)$ nên ta có$0.bc+1.c-1.b=0\iff c-b=0\iff b=c$

Với giả thiết$d\left(O,\left(ABC\right)\right)=\frac{1}{3}$ ta có$\frac{|-bc|}{\sqrt{b^2{c}^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{3}$

Vì $b,c>0$ nên có

$\sqrt{b^2{c}^2+b^2+c^2}=3bc\iff b^2{c}^2+b^2+c^2=9b^2{c}^2\iff b^2+c^2=8b^2{c}^2$

Thay$b=c>0$ vào ta được$2b^2=8b^4\iff b^2=\frac{1}{4}\iff b=\frac{1}{2}$, suy ra $c=\frac{1}{2}$

Vậy $M=b+c=1$

Đáp án cần chọn là: D