Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại BB

Ta có : $\left\{\begin{array}{c}BC\perp BA\\ BC\perp DA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(ABD\right)\Rightarrow BC\perp BD\Rightarrow \Delta BCD$ vuông tại B.

Gọi I là trung điểm của CD thì $IB=IC=ID=\frac{1}{2}CD$

Tam giác ACD vuông tại A nên $IA=IC=ID=\frac{1}{2}CD$

Do đó $IA=IB=IC=ID\Rightarrow I$  là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDABCD.

Tam giác ABC vuông tại B nên $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ (Định lí Pytago).

Vì $DA\perp \left(ABC\right)$ nên ACAC là hình chiếu của DCDC lên (ABC).
$\Rightarrow \angle \left(DC;\left(ABC\right)\right)=\angle \left(DC;AC\right)=\angle DCA={45}^0$

Tam giác DAC vuông tại A có $\widehat{DCA}={45}^0$ nên là tam giác vuông cân

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :$V=\frac{4}{3}\pi I{A}^3=\frac{4}{3}\pi .{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^3=\frac{125\sqrt{2}}{3}\pi$

Đáp án cần chọn là: C