Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′, cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60 độ

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:

$AM\perp BC$ (do $\text{Δ}ABC$ đều)

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}(A\text{'}BC)\cap \left(ABC\right)=BC\\ AM\subset \left(ABC\right),AM\perp BC\\ A\text{'}M\subset (A\text{'}BC),A\text{'}M\perp BC\end{array}\right.$

Vì $\text{Δ}ABC$ đều cạnh a nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $S_{\text{Δ}ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Xét tam giác vuông $A^{\text{'}}AM$có: $A{A}^{\text{'}}=AM.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3a}{2}$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{\text{Δ}ABC}=\frac{3a}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}$

Đáp án cần chọn là: C