Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu vuông góc của đỉnh C trên (ABB′A′)

Gọi O là tâm hình bình hành $AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$.Ta có $CO\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\Rightarrow CO\perp OA;CO\perp OB$

$\text{Δ}COA=\text{Δ}COB\left(c.g.c\right)\Rightarrow OA=OB\Rightarrow A{B}^{\text{'}}=A^{\text{'}}B\Rightarrow AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình chữ nhật.

Lại có $AB=B{B}^{\text{'}}=a\Rightarrow AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình vuông

Khi đó $OA=OB=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Xét tam giác vuông OAC có: $OC=\sqrt{A{C}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Mà $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}.d\left(A^{\text{'}},\left(ABC\right)\right)=3.\frac{1}{3}{S}_{ABC}.d\left(A^{\text{'}},\left(ABC\right)\right)=3.V_{A^{\text{'}}.ABC}$
Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=3V_{C.A^{\text{'}}AB}=\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$
Đáp án cần chọn là: C