Cho hình lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C′ trên (ABC) là O.

Gọi D là trung điểm của AB. Trong (CC′D) kẻ $OH\perp C{C}^{\text{'}}\Rightarrow OH=a$

Trong (ABC), qua O kẻ $EF//AB\left(E\in BC;F\in AC\right)$

Ta có: $\left.\begin{array}{c}EF\perp CC\text{'}\\ OH\perp CC\text{'}\end{array}\right\}\Rightarrow CC\text{'}\perp \left(EFH\right)\Rightarrow CC\text{'}\perp HE;CC\text{'}\perp HF$

Ta có:

$\Rightarrow \text{Δ}HEF$ vuông tại H

$\text{Δ}HCE=\text{Δ}HCF\left(c.g.v-c.h\right)\Rightarrow HE=HF\Rightarrow \text{Δ}HEF$ vuông cân tại H $\Rightarrow EF=2HO=2a$

Ta có: $\frac{EF}{AB}=\frac{CO}{CD}=\frac{2}{3}\Rightarrow AB=\frac{3}{2}EF=\frac{3}{2}.2a=3a$

$C^{\text{'}}O\perp \left(ABC\right)\Rightarrow C^{\text{'}}O\perp CO\Rightarrow \text{Δ}C{C}^{\text{'}}O$ vuông tại O

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=C^{\text{'}}O.S_{\text{Δ}ABC}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{9a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{27a^3\sqrt{2}}{8}$
Đáp án cần chọn là: D