Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng (BCC'B')

Gọi M là trung điểm của B′C′. Vì $\text{Δ}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$đều nên $A^{\text{'}}M\perp B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$

Ta có:$\left\{\begin{array}{c}A\text{'}M\perp B\text{'}C\text{'}\\ A\text{'}M\perp BB\text{'}(BB\text{'}\perp (A\text{'}B\text{'}C\text{'}\left)\right)\end{array}\right.\Rightarrow A^{\text{'}}M\perp \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$

⇒BM là hình chiếu của A′M lên (BCC′B′)

$\Rightarrow \angle \left(A^{\text{'}}B;\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\right)=\angle \left(A^{\text{'}}B;MB\right)=\angle A^{\text{'}}BM={30}^0$

Theo bài ra ta có$\text{Δ}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ đều cạnh a nên $A^{\text{'}}M=\frac{a\sqrt{3}}{2}$và $S_{\text{Δ}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Ta có:$A^{\text{'}}M\perp \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\Rightarrow A^{\text{'}}M\perp BM\Rightarrow \text{Δ}{A}^{\text{'}}BM$ vuông tại M

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BB′M ta có:

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=B{B}^{\text{'}}.S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=a\sqrt{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$
Đáp án cần chọn là: B