Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30 độ

* Hướng dẫn giải

* Xác định $\angle \left(\left(A^{\text{'}}BD\right);\left(ABCD\right)\right)$

+ $\left(A^{\text{'}}BC\right)\cap \left(ABCD\right)=BD$

+ $\left\{\begin{array}{c}AA\text{'}\perp BD\\ AO\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow (A\text{'}AO)\perp BD$

+ $\left\{\begin{array}{c}(A\text{'}AO)\cap (A\text{'}BD)=A\text{'}O\\ (A\text{'}AO)\cap \left(ABCD\right)=AO\end{array}\right.$

$\Rightarrow \angle \left(\left(A^{\text{'}}BD\right);\left(ABCD\right)\right)=\angle \left(A^{\text{'}}O;AO\right)=\angle A^{\text{'}}OA$

$\Rightarrow \angle A^{\text{'}}OA={30}^0$

* Xét tam giác A′OA vuông tại A có $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=a$

$\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=\tan {30}^0.AO=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=S_{ABCD}.A{A}^{\text{'}}=\frac{1}{2}AC.BD.A{A}^{\text{'}}$

$=\frac{1}{2}.{\left(2a\right)}^2.\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}$