Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB = 8, cạnh bên bằng căn bậc hai của 6

Bước 1: Gọi N là trung điểm của AC, chứng minh

$d\left(A;\left(B{B}^{\text{'}}M\right)\right)=d\left(A;\left(B{B}^{\text{'}}MN\right)\right)=AN$

Gọi N là trung điểm của AC ta có $\left(B{B}^{\text{'}}M\right)\equiv \left(B{B}^{\text{'}}MN\right)$ nên

Vì tam giác ABC đều nên $AN\perp BN$. Ta có $\left\{\begin{array}{c}AN\perp BN\\ AN\perp MN\end{array}\right.\Rightarrow AN\perp (BB\text{'}MN)$ nên $d\left(A;\left(B{B}^{\text{'}}MN\right)\right)=AN=4$

Bước 2:  Tính $V_{A.B{B}^{\text{'}}M}=\frac{1}{3}d\left(A;\left(B{B}^{\text{'}}MN\right)\right).S_{\text{Δ}B{B}^{\text{'}}M}=V_{B^{\text{'}}.ABM}$

Ta lại có $BN=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3},MN=A{A}^{\text{'}}=\sqrt{6}$ nên $S_{B{B}^{\text{'}}MN}=MN.BN=\sqrt{6}.4\sqrt{3}=12\sqrt{2}\Rightarrow S_{\text{Δ}B{B}^{\text{'}}M}=6\sqrt{2}$

Bước 3:  Sử dụng $d\left(B^{\text{'}};\left(ABM\right)\right)=\frac{3V_{B^{\text{'}}.ABM}}{S_{\text{Δ}ABM}}$

Lại có $V_{B^{\text{'}}.ABM}=\frac{1}{3}d\left(B^{\text{'}};\left(ABM\right)\right).S_{\text{Δ}ABM}$ nên $d\left(B^{\text{'}};\left(ABM\right)\right)$

Ta có:

Bước 4: Sử dụng công thức $S_{\text{Δ}ABM}=\sqrt{p\left(p-AM\right)\left(p-AB\right)\left(p-BM\right)}$ với p là nửa chu vi tam giác ABM.

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABM ta có $p=\frac{\sqrt{22}+8+3\sqrt{6}}{2}$

Vậy $d\left(B^{\text{'}};\left(ABM\right)\right)=\frac{3V_{B^{\text{'}}.ABM}}{S_{\text{Δ}ABM}}=\frac{3.16\sqrt{2}}{12\sqrt{2}}=4$