Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF)

Mặt phẳng (AEF) chứa $EF//BD\subset \left(ABCD\right)$

⇒ Giao tuyến của (AEF) và (ABCD) là đường thẳng đi qua A và song song với EF

Trong (ABCD) qua A kẻ $HI//BD\left(H\in BC,I\in CD\right)$

Trong (BCC′B′) gọi $L=EH\cap B{B}^{\text{'}}$ , trong (CDD′C′) gọi $M=FI\cap D{D}^{\text{'}}$ , khi đó $\left(AEF\right)\equiv \left(ALEFM\right)$

Ta có :$\left\{\begin{array}{c}\left(AEF\right)\cap (BCC\text{'}B\text{'})=HE\\ \left(AEF\right)\cap (CDD\text{'}C\text{'})=FI\\ (BCC\text{'}B\text{'})\cap (CDD\text{'}C\text{'})=CC\text{'}\end{array}\right.$

$\Rightarrow HE,FI,C{C}^{\text{'}}$ đồng quy tại N.

Ta có : $V_{H^{\text{'}}}=V_{N.CIH}-V_{N.EF{C}^{\text{'}}}-V_{L.ABH}-V_{M.ADI}$

Ta dễ dàng chứng minh được B,D lần lượt là trung điểm của

$\Rightarrow \text{Δ}{C}^{\text{'}}EF$ đồng dạng với $\text{Δ}CIH$ theo tỉ số đồng dạng $k=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{S_{\text{Δ}{C}^{\text{'}}EF}}{S_{\text{Δ}CIH}}=\frac{1}{16}$

Ta có :

$\Rightarrow V_{S.CIH}=\frac{8}{9}{V}_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}$

$\Rightarrow V_{H\text{'}}=\frac{47}{64}{V}_{N.CIH}=\frac{47}{72}{V}_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}$

$\Rightarrow V_H=\frac{25}{72}{V}_{ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}$

$\Rightarrow \frac{V_H}{V_{H\text{'}}}=\frac{25}{47}$

Đáp án cần chọn là: A