Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0;1;1), B(3;0;-1), C(0;21;-19)

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1). Gọi E là điểm thoả $3\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow E(1;4;-3)$. $T=6M{\text{E}}^2+3E{A}^2+2E{B}^2+E{C}^2$

T nhỏ nhất khi ME nhỏ nhất $\iff$M là 1 trong 2 giao điểm của đường thẳng IE và mặt cầu (S).

$\overrightarrow{IE}=(0;3;-4)$, $\overrightarrow{EM}=(a-1;b-4;c+3)$

$\overrightarrow{IE},\overrightarrow{ME}$ cùng phương $\iff \overrightarrow{EM}=k\overrightarrow{IE}\iff \left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ b-4=3k\\ c+3=-4k\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3k+4\\ c=-4k-3\end{array}\right.$

$M\in \left(S\right)\Rightarrow {(3k+3)}^2+{(-4k-4)}^2=1\iff \left[\begin{array}{l}k=-\frac{4}{5}\\ k=-\frac{6}{5}\end{array}\right.$

$k=-\frac{4}{5}\Rightarrow M_1\left(1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}\right)\Rightarrow E{M}_1=\frac{\sqrt{208}}{5}$

$k=-\frac{6}{5}\Rightarrow M_2\left(1;\frac{2}{5};\frac{9}{5}\right)\Rightarrow E{M}_2=6>E{M}_1$ (Loại)

Vậy $M\left(1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}\right)$