Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có $AC=2a=SA=SC$ suy ra tam giác SAC đều, do đó $SO=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Vẽ $DJ\perp SC,J\in SC$. Khi đó BJ vuông góc với SC.

Ta có: $\left(SCD\right)\cap \left(SCA\right)=SC,JD\perp SC,JB\perp SC$. Đặt $\delta =\widehat{DJB}$. Vì JD = JB nên JO là đường cao của tam giác cân DJB, suy ra JO cũng là đường phân giác. Do đó góc giữa (SDC) và (SAC) là $\widehat{DIO}=\frac{\delta }{2}$.

Ta có $SC\perp \left(DJB\right)$, mà $OJ\subset \left(DJB\right)$ nên $OJ\perp SC$. Trong $\Delta DJO$ ta có: $OJ=OD.\cot \frac{\delta }{2}$. Trong $\Delta SOC$ ta có: $\frac{1}{O{J}^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{A}^2}\iff \frac{1}{a^2{\cot }^2\frac{\delta }{2}}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{a^2}$ 

Do đó: $\frac{1}{a^2{\cot }^2\frac{\delta }{2}}=\frac{4}{3a^2}\iff {\cot }^2\frac{\delta }{2}=\frac{3}{4}\iff 1+{\cot }^2\frac{\delta }{2}=\frac{7}{4}$ 

          $\iff \frac{1}{{\sin }^2\frac{\delta }{2}}=\frac{7}{4}\iff {\sin }^2\frac{\delta }{2}=\frac{4}{7}\iff {\cos }^2\frac{\delta }{2}=\frac{3}{7}$ 

Mà $\cos \frac{\delta }{2}>0$ nên từ (1) ta có $\cos \frac{\delta }{2}=\frac{\sqrt{21}}{7}$. Vậy côsin của góc giữa (SDC) và $\left(SAC\right)$bằng $\frac{\sqrt{21}}{7}$