Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a. AD = 2a. AA' = 3a

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi E là giao điểm của NP và CD. Gọi G là giao điểm của NP và CC’. Gọi K là giao điểm của MG và B’C’. Gọi Q là giao điểm của ME và AD. Khi đó mặt phẳng (MNP) chính là mặt phẳng (MEG). Gọi $d_1,d_2$ lần lượt là khoảng cách từ C, A đến mặt phẳng (MEG). Do AC cắt (MEG) tại điểm H (như hình vẽ) nên $\frac{d_1}{d_2}=\frac{HC}{HA}$. Do tứ diện CMEG là tứ diện vuông tại C nên

$\frac{1}{d_1^2}=\frac{1}{C{M}^2}+\frac{1}{C{E}^2}+\frac{1}{C{G}^2}$

Ta có $\frac{GC\text{'}}{GC}=\frac{C\text{'}N}{CE}=\frac{1}{3}$  

Suy ra $GC=\frac{3}{2}CC\text{'}=\frac{9a}{2}$ 

Như vậy: $\frac{1}{d_1^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{9a^2}+\frac{4}{81a^2}$ 

Từ đó $d_1^2=\frac{81a^2}{12}\Rightarrow d_1=\frac{9}{11}$. Ta có $\frac{QD}{MC}=\frac{ED}{EC}=\frac{1}{3}\Rightarrow QD=\frac{a}{3}$ 

Ta có $\Delta HCM$ đồng dạng với $\Delta HAQ$ nên:

$\frac{HC}{HA}=\frac{MC}{AQ}=\frac{a}{2a-\frac{a}{3}}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{d_1}{d_2}=\frac{3}{5}\Rightarrow d_2=\frac{5}{3}{d}_1=\frac{5.9a}{3.11}=\frac{15a}{11}$