Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi I là trung điểm của CD suy ra: $SI\perp CD$. Vì $OI\left|\right|AD$ nên $CD\perp AD\Rightarrow CD\perp OI$. Vậy $CD\perp \left(SOI\right)$.

Dựng đường cao OH của tam giác vuông SOI $\Rightarrow CD\perp OH$.

Mặt khác $OH\perp SI$ nên $OH\perp \left(SCD\right)$.

Ta có: $d\left(A,\left(SCD\right)\right)=2d\left(O,\left(SCD\right)\right)=2OH$ .

Xét tam giác vuông SOC có

$$$SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{{\left(3a\right)}^2-{\left(\frac{2a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=a\sqrt{7}$ 

Xét tam giác vuông SOI có $OI=\frac{1}{2}AD=a$ 

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{I}^2}=\frac{1}{7a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{8}{7a^2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{14}}{4}$ 

Vậy $d\left(A,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{14}}{2}$