Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m - cosx)/sin^2(x)

* Hướng dẫn giải

Đáp án là D

Đặt$t=\cos x$ ; $x\in \left(\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ .

Ta có:$y=\frac{-t+m}{1-t^2}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{-t^2+2mt-1}{{\left(-t^2+1\right)}^2}.$

Hàm số nghịch biến trên $\left(0;\frac{1}{2}\right)$$\iff y^{\text{'}}\le 0\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$

$\iff \frac{-t^2+2mt-1}{{\left(-t^2+1\right)}^2}\le 0\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)\iff t^2-2mt+1\ge 0\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)\iff m\le \frac{t^2+1}{2t}\forall t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$

$\iff m\le \underset{\left(0;\frac{1}{2}\right)}{\min }g\left(t\right)\Rightarrow m\le \frac{5}{4},$ với $g\left(t\right)=\frac{t^2+1}{2t}.$