Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí A của một tỉnh miền trung

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi $AD=x\left(5\le x\le \sqrt{74}\right)$. Khi đó thì $BD=\sqrt{x^2-25}\Rightarrow CD=7-\sqrt{x^2-25}$.

Tổng thời gian đi từ A đến C là $f\left(x\right)=\frac{AD}{4}+\frac{CD}{6}=\frac{x}{4}+\frac{7-\sqrt{x^2-25}}{6}.$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $f\left(x\right)$ này trên $\left[5;\sqrt{74}\right]$ .

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{4}-\frac{x}{6\sqrt{x^2-25}};f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 3\sqrt{x^2-25}=2x\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ 9\left(x^2-25\right)=4x^2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ \left[\begin{array}{c}x=3\sqrt{5}\\ x=-3\sqrt{5}\end{array}\right.\end{array}\iff x=3\sqrt{5}.\right.\right.$

Ta có $f\left(5\right)=\frac{29}{12};f\left(3\sqrt{5}\right)=\frac{7}{6}+\frac{5}{12}\sqrt{5};y\left(\sqrt{74}\right)=\frac{\sqrt{74}}{4}$

$\Rightarrow \underset{x\in \left[5;\sqrt{74}\right]}{Min}f\left(x\right)=\frac{7}{6}+\frac{5}{12}\sqrt{5}$. Dấu $"="$xảy ra khi $x=3\sqrt{5}.$