Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

 Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB};$

          $\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\Rightarrow \overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

          $\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

          $\overrightarrow{DP}=k\overrightarrow{DC}\Rightarrow \overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AD}=k\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)\Rightarrow \overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AC}+\left(1-k\right)\overrightarrow{AD}$

Điều kiện 4 điểm P,Q,M,N đồng phẳng là tồn tại $x,y,z;x+y+z=1$  thỏa mãn

          $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{AN}+z\overrightarrow{AQ}\iff \left\{\begin{array}{c}x+y+z=1\\ \frac{1}{3}x+\frac{1}{3}y=0\\ \frac{2}{3}y=k\\ \frac{1}{2}z=1-k\end{array}\right.$

Từ pt(1) và pt(2) ta có $z=1\Rightarrow k=\frac{1}{2}$