Cho phương trình x^12 + 1= 4x^4 căn bậc 2(x^n-1). Tìm số nguyên dương n bé nhất

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Với $n\le 4$: thì ta có $VT-2x^8=x^{12}-2x^8+1=\left(x^4-1\right)\left(x^8+x^4-1\right)\ge 0$ vì $x^4>1$ thế nên $VT\ge 2x^8$.

Ta có $2x^8=2x^4.x^4=2x^4.\left(x^4-1+1\right)\ge 2x^4.\sqrt{x^4-1}\ge VP$ (Ta chỉ cần xét với $x\ge 1)$

Vậy $VT\ge VP$ nhưng dấu bằng ko thể xảy ra được vì điều kiện 2 dấu trên là khác nhau. Do đó $n\le 4$ loại.

Với $n=5.$ Xét $f\left(x\right)=x^{12}+1-4x^4\sqrt{x^5-1}\left(x\ge 1\right)$ Ta có đây là hàm liên tục trên $R$ và ta có $f\left(1\right)>0;f\left(1,1\right)<0$ nên phương trình có nghiệm trong $\left(1;1,1\right)$. Tức là $n=5$ thỏa mãn.