Gọi M và m tương ứng giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số y = (x^3 + x^2 + x)/(x^2 +1)

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Có $y\left(0\right)=0.$

Với $x\ne 0$ ta có $y=\frac{\frac{x^3+x^2+x}{x^2}}{\frac{{\left(x^2+1\right)}^2}{x^2}}=\frac{x+\frac{1}{x}+1}{{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2}$. Đặt $x+\frac{1}{x}=t$ thì ta có $y=f\left(t\right)=\frac{t+1}{t^2}$.

Thấy $v{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2\ge 4.x.\frac{a}{x}=4$ nến $t^2\ge 4\iff t\in \left(-\infty ;-2\right]\cup \left[2;+\infty \right).$

 Có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{-t^2-2t}{t^4}. f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ t=-2\end{array}\right.$

Bảng biến thiên $f\left(t\right)$ với $t\in \left(-\infty ;-2\right]{\cup }^{\text{}}\left[2;+\infty \right).$

Dựa vào bảng trên thì $\max y=\frac{3}{4};\min y=-\frac{1}{4}\Rightarrow M+m=\frac{1}{2}$