Biết I = tích phân từ đến 1 của x / ( căn ( 3x+1) +( 2x+1) ) dx = a+b căn 3 /9

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương pháp giải: Nhân liên hợp với biểu thức mẫu số, đưa về tính tích phân cơ bản

Lời giải:

Ta có 

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}}dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x\left(\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}\right)}{{\left(\sqrt{3x+1}\right)}^2-{\left(\sqrt{2x+1}\right)}^2}dx$

$\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x\left(\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1}\right)}{3x+1-2x-1}\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+1}\right)dx.\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{{\left(3x+1\right)}^3}}{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{{\left(2x+1\right)}^3}}{\frac{3}{2}}\right)\left|\begin{array}{l}{}^1\\ {}_{}\\ {}_0\end{array}\right.\\ =\left(\frac{2}{9}.\sqrt{{\left(3x+1\right)}^3}-\frac{1}{3}.\sqrt{{\left(2x+1\right)}^3}\right)\left|\begin{array}{l}{}^1\\ {}_0\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{1}{9}\left[2\sqrt{{\left(3x+1\right)}^3}-3\sqrt{{\left(2x+1\right)}^3}\right]\left|\begin{array}{l}{}^1\\ {}_0\end{array}\right.\\ =\frac{1}{9}\left(16-9\sqrt{3}+1\right)=\frac{17-9\sqrt{3}}{9}\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=17\\ b=-9\end{array}\right..\end{array}$

Vậy $T=a+b=17-8=8.$