Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm

* Hướng dẫn giải

Đáp án là  B.

Đặt $t=x-\frac{2}{x}$ Đạo hàm $t^{,}=1+\frac{2}{x^2}> 0$

Do đó $t\left(1\right)\le t\le t\left(2\right),\forall x\in [1;2]$, suy ra $-1\le t\le 1$

Ta có $x^2+\frac{4}{x^2}=t^2+4,x^4+\frac{16}{x^4}={(x2+\frac{4}{x^2})}^2-8={(t2+4)}^2-8=t^4+8t^2+8$

Phương trình đã cho trở thành

$t^4+8t^2+8-4(t^2+4)-12t=m\iff t^4+4t^2-12t=m+8 (*)$

Phương trình đã cho có nghiệm trong đoạn [1;2] khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm trong [-1;1] Xét hàm số y=f(t)=$t^4+4t^2-12t$ trên [-1;1]

Đạo hàm $y^{,}=4t^8+8t-12, t\in (-1;1).y^{,}=4(t-1)(t^2+t+3)<0,\forall t\in (-1;1)$

Bảng biến thiên:

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm trên [1;2] thì $-7\le m+8\le 17\iff -15\le m\le 9$