Cho các số thực dương x,y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$\begin{array}{l}P=\frac{4x{y}^2}{\left(x+\sqrt{x^2+4y^2}\right)}\\ P=\frac{4{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}{{\left(1+\sqrt{1+4{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\right)}^3}\end{array}$

Đặt $\sqrt{1+4{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}=t,t\ge 1$$\Rightarrow 4{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=t^2-1$

Ta được hàm:

$\begin{array}{l}f\left(t\right)=\frac{t^2-1}{{\left(1+t\right)}^3}=\frac{t-1}{{\left(1+t\right)}^2},t\ge 1\\ f\text{'}\left(t\right)=\frac{-t^2+2t+3}{{\left(1+t\right)}^4}\\ f\text{'}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-1\left(L\right)\\ t=3\end{array}\right.\end{array}$

Vậy $\max P=\underset{\text{[}1;+\infty )}{\max }f\left(t\right)=\frac{1}{8}$