Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2 x tất cả bình trên y tất cả bình cộng xy

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Cho x,y > 0 thỏa mãn $2(x^2+y^2)+xy=(x+y)(2+xy)\iff 2{(x+y)}^2-(2+xy)(x+y)-3xy=0$  (*)

Đặt $\left\{\begin{array}{l}x+y=u\\ xy=v\end{array}\right.$ ta đc PT bậc II: $2u^2-(v+2)u-3=0$ gải ra ta được $u=\frac{v+2+\sqrt{v^2+28v+4}}{4}$

Ta có $P=4(\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{x^3})-9(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})=4{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^3-9{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^2-12(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+18$ , đặt $t=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}),(t\ge 2)\Rightarrow P=4t^3-9t^2-12t+18$ ; $P\text{'}=6(2t^2-3t+2)\ge 0$ với $\forall t\ge 2\Rightarrow Mi{n}_P=P_{\left(t_0\right)}$ trong đó $t_0=mi{n}_t=min(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$ với x,y thỏa mãn điều kiện (*).

Ta có :

$$\begin{gathered} t=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=\frac{{(x+y)}^2}{xy}-2=\frac{u^2}{v}-2=\frac{{(v+2+\sqrt{v^2+28v+4})}^2}{16v}-2= \\ \frac{1}{16}{(\sqrt{v}+\frac{2}{\sqrt{v}}+\sqrt{v+\frac{4}{v}+28})}^2-2\ge \frac{1}{16}{(2\sqrt{2}+\sqrt{32})}^2-2=\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Vậy $mi{n}_P=P_{\left(\frac{5}{2}\right)}=4.{\left(\frac{5}{2}\right)}^2-9{\left(\frac{5}{2}\right)}^2-12.\frac{5}{2}+18=-\frac{23}{4}$