Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y điểm cực trị tạo thành một tam giác

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có $y\text{'}=4x^3-4mx=4x(x^2-m)$ để tồn tại ba điểm cực trị thì m>0 khi đó tọa độ ba điểm cực trị là $A(0;m^4+2m),B(\sqrt{m};m^4-m^2+2m),C(-\sqrt{m};m^4-m^2+2m)$ 

$\Rightarrow AB=AC=\sqrt{m^4+m}$ , $BC=2\sqrt{m}$ gọi M là trung điểm $BC\Rightarrow MB=\sqrt{m}\Rightarrow AM=\sqrt{A{B}^2-M{B}^2}=\sqrt{m^4+m-m}=m^2\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AM.BC=\frac{1}{2}{m}^2.2\sqrt{m}=m^2.\sqrt{m}$ 

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}r=\frac{S}{P}=\frac{m^2\sqrt{m}}{\sqrt{m^4+m}+\sqrt{m}}=\frac{m^2}{\sqrt{m^3+1}+1}=\frac{\sqrt{m^3+1}-1}{m}\\ R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{(m^4+m)2\sqrt{m}}{4m^2\sqrt{m}}=\frac{1}{2}\frac{m^3+1}{m}\end{array}\right.$  theo giả thiết $$\begin{gathered} R=2r\Rightarrow \frac{1}{2}\frac{(m^3+1)}{m}=2\frac{(\sqrt{m^3+1}-1)}{m}\iff (m^3+1)=4\sqrt{m^3+1}-4\iff {(\sqrt{m^3+1}-2)}^2=0\iff \sqrt{m3+1}=2 \\ \iff m^3=3\iff m=\sqrt[3]{3} \end{gathered}$$