Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Xét hàm số $y=x^4-2m{x}^2+2m+m^4,$ có $y\text{'}=4x^3-4mx,\forall x\in ℝ$ 

Phương trình $y\text{'}=0\iff 4x^3-4mx=0\iff x\left(x^2-m\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.\left(*\right)$

Để hàm số có ba điểm cực trị $\iff \left(*\right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 

Khi đó, gọi $A\left(0;2m+m^4\right),B\left(\sqrt{m};m^4-m^2+2m\right),C\left(-\sqrt{m};m^4-m^2+2m\right)$ là tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Tam giác ABC đều $\iff A{B}^2=B{C}^2\iff m+m^4=4m\iff m^4=3m\iff m=\sqrt[3]{3}$