Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi M là trung điểm BC khi đó $BC\perp \left(SAM\right)$ do AB=AC và SB=SC 

Trong (SAM) kẻ $SH\perp AM$ ta có $SH\perp ABC$ góc $SBH=60°$ , đặt SB=SC=x ta có:

$AM=AB.\sin 30°=\frac{1}{2}a,BM=AB.\cos 60°=a\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BC=a\sqrt{3},d{t}_{ABC}=\frac{1}{2}AM.BC=\frac{1}{2}\frac{a}{2}a\sqrt{3}=a^2\frac{\sqrt{3}}{4},$$SH=SB.\sin 60°=x\frac{\sqrt{3}}{2},SA=\sqrt{S{B}^2+A{B}^2}=\sqrt{x^2+a^2},$

$SM=\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{x^2-3\frac{a^2}{4}}, AH=\sqrt{S{A}^2-S{H}^2}=\sqrt{x^2+a^2-\frac{3x^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4a^2},$$MH=\sqrt{S{M}^2-S{H}^2}=\sqrt{x^2-\frac{3a^2}{4}-\frac{3x^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{x^2-3a^2}$

Ta có : $AH-MH=AM\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt{x^2+4a^2}-\frac{1}{2}\sqrt{x^2-3a^2}=\frac{1}{2}a\iff \sqrt{x^2+4a^2}=\sqrt{x^2-3a^2}+a$ 

$\iff 3a=\sqrt{x^2-3a^2}\iff x^2=12a^2\Rightarrow x=2a\sqrt{3}\Rightarrow SH=3a$

Như vậy $V_{SABC}=\frac{1}{3}SH.d{t}_{ABC}=\frac{1}{3}3a.a^2\frac{\sqrt{3}}{4}=a^3\frac{\sqrt{3}}{4}$