Cho khai triển nhị thức Newton của (2-3x)^2x, biết rằng n là số

* Hướng dẫn giải

Đáp án là A

• Xét khai triển:

${\left(x+1\right)}^{2n+1}=C_{2n+1}^0{x}^{2n+1}+C_{2n+1}^1{x}^{2n}+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}$ .

Cho $x=1$ , ta được: $2^{2n+1}=C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}$. (1)

Cho $x=-1$ , ta được: $0=-C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^1-\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}$ . (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được:

$2^{2n+1}=2\left(C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n+1}\right)\iff 2^{2n+1}=2.1024\iff n=5$

• Xét: ${\left(2-3x\right)}^{10}=\sum _0^{10}{C}_{10}^k{2}^{10-k}.{\left(-3x\right)}^k=\sum _0^{10}{\left(-3\right)}^k{.2}^{10-k}.C_{10}^k.x^k$

Hệ số của $x^7$  là: ${\left(-3\right)}^7{.2}^3.C_{10}^7=-2099520.$