Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a SA=SB=SC=a

* Hướng dẫn giải

Đáp án là  D.

Khi SD thay đổi thi AC thay đổi. Đặt AC = x.

Gọi $O=AC\cap BD$ .

Vì $SA=SB=SC$  nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

$\Rightarrow H\in BO$

Ta có: $OB=\sqrt{a^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{4a^2-x^2}{4}}=\frac{\sqrt{4a^2-x^2}}{2}$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}OB.AC=\frac{1}{2}x.\frac{\sqrt{4a^2-x^2}}{2}=\frac{x\sqrt{4a^2-x^2}}{4}$

$HB=R=\frac{a.a.x}{4S_{ABC}}=\frac{a^{2}x}{4.\frac{x\sqrt{4a^2-x^2}}{4}}=\frac{a^2}{\sqrt{4a^2-x^2}}$

$SH=\sqrt{S{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^4}{4a^2-x^2}}=\frac{a\sqrt{3a^2-x^2}}{\sqrt{4a^2-x^2}}$

$SH=\sqrt{S{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^4}{4a^2-x^2}}=\frac{a\sqrt{3a^2-x^2}}{\sqrt{4a^2-x^2}}$

$=\frac{1}{3}a\left(x.\sqrt{3a^2-x^2}\right)\le \frac{1}{3}a\left(\frac{x^2+3a^2-x^2}{2}\right)=\frac{a^3}{2}$